CÁCH TÌM CƠ SỞ CỦA MỘT HỆ VECTƠ

________________________________________________1.

Bạn đang xem: Cách tìm cơ sở của một hệ vectơ

Hệ sinh:1.1 Định nghĩa: Cho S là một tập bé của không khí vectơ V. Ta gọi tập đúng theo những tổng hợp tuyến đường tính của các thành phần của S là bao con đường tính của S cùng cam kết hiệu là E(S). S được hotline là hệ sinch của V nếu E(S) = V. Ta Điện thoại tư vấn S là hệ sinh tối tiểu nếu nó ko đựng tập bé thực sự cũng là hệ sinc. Không gian vectơ bao gồm một hệ sinh hữu hạn được Call là không khí hữu hạn sinch hay là không gian hữu hạn chiều....


*

Hệ sinch, cơ sở, số chiều và hạng của một hệ vectơ ________________________________________________1. Hệ sinh: 1.1 Định nghĩa: Cho S là một tập bé của không khí vectơ V. Ta Hotline tập đúng theo những tổđúng theo tuyến tính của những bộ phận của S là bao con đường tính của S và ký kết hiệu là E(S). S đượcHotline là hệ sinh của V trường hợp E(S) = V. Ta điện thoại tư vấn S là hệ sinc tối tiểu ví như nó không đựng tậpbé thực thụ cũng chính là hệ sinc. Không gian vectơ có một hệ sinh hữu hạn được Gọi là không gian hữu hạn sinch haykhông khí hữu hạn chiều. Do kia, trường hợp mang đến S = u1 , u2 ,..., un V , S là hệ sinh của V lúc và chỉ khi: ∀u � , ∃(α1 , α 2 ,..., α n ) �ᄀ n : u = α1u1 + α 2u2 + ... + α nun . V Nếu S là hệ sinch của V thì ta ký kết hiệu V = S = u1 , u2 ,..., un . 1.2 Ví dụ: 1. Nếu S = thì E ( S ) = . 2. Đối cùng với không gian vectơ ᄀ n , hệ vectơ tất cả các vectơe1 = (1, 0,..., 0); e2 = (0,1, 0,..., 0);...; en = (0, 0,....,1) là 1 trong những đại lý của không gian vectơ ᄀ n . 3. Tập những đơn thức t n là một hệ sinch của không gian những đa thức K. 4. Nếu S là hệ sinch của V, thì rất nhiều tập cất nó phần đa là hệ sinc của V. Nói riêng V làhệ sinh của V. 1.3 Nhận xét: Để minh chứng S là 1 trong hệ sinc của V ta minh chứng đa số tập con hữu hạnv1 , v2 ,.., vn là hệ sinc của V. Khi kia, ta rất có thể thực hiện một trong những phương thức sau: Phương thơm pháp 1: Chứng minc với tất cả vector v ở trong V thì có những số α1 , α 2 ,..., α n thuộc trường K saocho v = α1v1 + α 2 v2 + ... + α n vn . Trong không gian vector K m cùng với n m điều này tương tự cùng với hệ pmùi hương trình: a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn = b2 luôn luôn tất cả nghiệm cùng với v = (b1 , b2 ,..., bm ) K m trong đó ... am1 x1 + a2 x2 + ... + amn xn = bmvi = (a1i , a2i ,..., amày ), ∀i = 1,.., n . Phương thơm pháp 2: Nếu biết trước 1 hệ sinch u1 , u2 ,..., um của V thì nên chứng minh từng vector ui biểu diễnđược qua những vector v1 , v2 ,..., vm cùng với i = 1, …, m. Ví dụ: Chứng minch rằng hệ 4 vector u = (1, 2,3); v = (0, 2,1); w = (0, 0, 4); z = (2; 4;5) là hệsinch của không khí vector ᄀ 3 . Giải: 1.x1 + 0.x2 + 0 x3 + 2 x4 = b1 Xét hệ phương thơm trình 2.x1 + 2.x2 + 0 x3 + 4 x4 = b2 3.x1 + 1.x2 + 4.x3 + 5 x4 = b3 Hệ này còn có nghiệm vì chưng hạng của ma trận hệ số bởi với hạng của ma trận thông số mởrộng cùng nghiệm của hệ phương thơm trình là: x1 = b1 b2 x2 = − b1 2 x3 = (b3 − 3b1 ) / 4 x4 = 0 1.4 Định lý: E(S) là không khí bé của V cùng là không gian nhỏ nhỏ dại độc nhất của V chứatập S. 1.5 Định lý: S là hệ sinh tối tiểu của E(S) khi còn chỉ khi S là hệ tự do con đường tính. 2. Trung tâm, số chiều và hạng của hệ vectơ: 2.1 Định nghĩa: Ta Gọi hệ vectơ S V là đại lý của V giả dụ S là hệ sinc về tối đái củaV. Nói cách khác S là cơ sở của V nếu như và chỉ còn nếu S là hệ sinc của V với S là hệ vectơ độclập tuyến tính. Nếu tập được sắp tới vật dụng từ bỏ S = ui là cửa hàng của V với u V thì cỗ những số (α i )i Iđược điện thoại tư vấn là tọa độ của u theo S giả dụ u = α i ui . iI Ví dụ: Trong ᄀ 4 xét đại lý bao gồm tắc gồm 4 vector sau đây: u1 = (1, 0, 0, 0); u2 = (0,1, 0, 0); u3 = (0, 0,1, 0); u4 = (0,0, 0,1) khi ấy vector u = (1, 2,3, 4) ᄀ 4được biểu thị đường tính qua những vector u1 , u2 , u3 , u4 như sau: u = u1 + 2u2 + 3u3 + 4u4 . Suy ra tọa độ của vector u so với đại lý trên là u = (1, 2, 3,4). Mặt khác, vào ᄀ 4 xét cơ sở có những vector sau: v1 = (1, 0, 0,1); v2 = (0,1, 0, 0); v3 = (0, 0,1, 0); v4 = (1,1, 0, 0) thì khi đó vector u = (1, 2,3, 4) ᄀ 4 được bộc lộ con đường tính qua những vector bên trên nhưsau: u = −2v1 − v2 + 3v3 + 3v4 .

Xem thêm: Download Manycam - Cách Sử Dụng Manycam Với Trò Chuyện

khi đó, tọa độ của u so với các đại lý này là u = (-2, -1, 3, 3). 2.2 Định lý: Nếu V là không gian hữu hạn sinch thì số vectơ trong mọi đại lý của V lànhư nhau. Số này call là số chiều của V. Ký hiệu là dimV. 2.3 Ví dụ: - Các vectơ e1 = (1, 0, 0,..., 0); e2 = (0,1, 0,..., 0);...; en = (0, 0,....,1) lập thành một các đại lý củakhông khí vectơ ᄀ n . Ta Điện thoại tư vấn đó là các đại lý chính tắc (cơ sở từ nhiên) của ᄀ n , vậydlặng ᄀ n = n . Một vectơ x = ( x1 , x2 ,..., xn ) bao gồm tọa độ với hệ e1 , e2 ,..., en là ( x1 , x2 ,..., xn ) . Tuynhiên, tọa độ của x theo hệ e2 , e1 ,..., en lại là ( x2 , x1 ,..., xn ) � 0� 1 � 1� 0 � 0� 0 � 0� 0 - Các ma trận I1 = � �I 2 = � �I 3 = � �I 4 = � ; ; ; �lập thành một cửa hàng � 0� 0 � 0� 0 � 0� 1 � 1� 0 � b� acủa không khí các ma trận M(2;K). Một ma trận A = � � ẽ tất cả tọa độ đối với hệ cơ s � d� csnghỉ ngơi này là (a, b, c, d). - Trong không gian vectơ những ma trận M ( m n; ᄀ ) , ta rất có thể lập một hệ đại lý baobao gồm những ma trận Eij trong các số ấy những thành phần tương ứng ngơi nghỉ mẫu i cùng cột j với1 i m;1 j n bởi 1 còn những phần tử sót lại của ma trận Eij này đa số bằng 0. khi đó,dlặng M (m n; K ) = mn . - ᄀ n ( x) là tập hòa hợp các đa thức thông số thực bậc nhỏ dại rộng hay bằng n cùng với những phxay toánthường thì là một không gian vectơ. Trong đó, hệ 1, x, x 2 ,..., x n là một trong những cửa hàng của khônggian vectơ này. Do đó, dlặng ᄀ n ( x) = n + 1 . 2.4 Định lý: Cho S là một hệ vectơ của không khí vectơ V. lúc kia, các điều kiệnsau tương đương: i) S là đại lý của V; ii) Mỗi vectơ của V rất có thể màn trình diễn độc nhất qua các vectơ của hệ S; iii) S là một trong hệ chủ quyền tuyến tính buổi tối đại của V. lúc ta có dimV = n thì những đi ềukhiếu nại bên trên tương tự với: iv) S là một hệ sinch gồm đúng n phần tử; v) S là 1 trong những hệ hòa bình con đường tính bao gồm n phần tử; vi) S bao gồm đúng n phần tử và ma trận những cột (dòng) là những vectơ tọa độ của những phầntử của S theo một cửa hàng đã biết có định thức không giống không. 2.5 Nhận xét: Đối với không gian hữu hạn chiều (mang sử dim V = n ) thì nhằm minh chứng một hệvector gồm n vector là đại lý của không khí V ta chỉ cần chứng tỏ hệ vector này làhòa bình tuyến tính. 2.6 Hệ trái 1: i) Bất kỳ hệ sinh như thế nào của V cũng chứa một đại lý của V. ii) Bất kỳ hệ tự do tuyến đường tính nào thì cũng hoàn toàn có thể bổ sung cập nhật những vectơ đ ể trở nên cơsở. 2.7 Hệ quả 2: i) Không gian bé của không gian hữu hạn chiều là không khí bao gồm số chiều hữu hạn. ii) Không gian chứa một không khí vô hạn chiều là vô hạn chiều. 2.8 Định nghĩa: Cho một hệ hữu hạn vectơ xi i I vào không khí vectơ V. Sốbộ phận của một hệ bé chủ quyền tuyến đường tính về tối đại của xi i I là 1 trong hằng số (khôngdựa vào vào cách lựa chọn hệ con, chỉ dựa vào vào thực chất của hệ xi ). Hằng số nàyđược call là hạng của hệ vectơ xi i I . Ta ký hiệu hạng của hệ xi i I là rank ( xi )i I . 2.9 Định lý: điện thoại tư vấn A là ma trận tất cả các mẫu (cột) là những tọa độ của những vectơ xi Lúc đóta có rank ( A) = rank ( xi )i I . Nhận xét: Từ định lý bên trên mong muốn kiếm tìm hạng của một hệ vectơ ta có thể lập ma trậnbao gồm gồm những mẫu là tọa độ của các vectơ với search hạng của ma trận kia. Ví dụ: Xét hệ vector u1 = (1, 0, 0,1); u2 = (0,1, 0, 0); u3 = (0, 0,1, 0); u4 = (1,1, 0, 0) . khi đó, rank (ui )i =1,4 = rankA = 4 với A là ma trận bao gồm những dòng là tọa độ của những vector ui trongcửa hàng bao gồm tắc của ᄀ 4 . 1 0 0 1� 1 0 0 1� 1 0 0 1� � � � � 0� � 0 0� � 0 0� 0 1 0 0 1 0 1 A=� � � � � � d 4 − d1 d4 −d2 d4 d4 � 0� � 1 0� � 1 0� 0 0 1 0 0 0 0 � � � � � � 0 −1� 0 −1� 1 1 0 0� 0 1 0 0 � � � 3. Không gian hữu hạn chiều: 3.1 Định nghĩa: Không gian vectơ V được Điện thoại tư vấn là không gian vectơ n chiều nếu như cơ sởcủa V có n vectơ. 3.2 Tính chất: Cho V là một trong không khí hữu hạn chiều, dimV = n. Khi đó: (a) Mọi hệ vectơ có không ít hơn n vectơ các phụ thuộc tuyến đường tính. (b) Mọi hệ bao gồm n vectơ chủ quyền tuyến tính đều là đại lý của V. (c) Mọi hệ gồm n vectơ là hệ sinc của V đều là các đại lý của V. (d) Mọi hệ tự do con đường tính tất cả k vectơ hồ hết rất có thể bổ sung thêm n-k vectơ để lậpthành một cửa hàng của V. Crúc ý: Từ đặc điểm (b) và (c) ta suy ra, nếu như biết dimV = n thì để minh chứng một hện vectơ là các đại lý thì ta buộc phải chứng minh đó là hệ độc lập tuyến đường tính hoặc sẽ là hệ sinc. Bài tập3.2.trong số ngôi trường phù hợp sau đây, xét coi W liệu có phải là không gian con củakhông gian vectơ R3 ( x , x , x )γ R 0) 3 : x1a) W = 1 2 3b)W = ( x1 , x2 , x3 ) �R : x1 + 2 x2 = x3 3C)w = ( x1 , x2 , x3 ) �R : x1 = x2 = 0 3Bài giải Với u = (1,2,3) u W , Ta bao gồm -3u = (-3,-6, -9) W( Vì -3≤ 0)a)Do đó W không là không khí nhỏ của R3b) ta gồm 0 = (0,0,0) W ( vì chưng 0 + 2.0 = 0 ). Suy ra Wvới tất cả u = ( x1,x2,x3) W nghĩa là x1 + 2x2 = x3 và v = (y1, y2,y3 ) W tức thị y1 + 2y2 = y3suy ra x3 + y3 = x1 +y1 + 2x2 + 2y2 = x1 + y1 + 2(x2 + y2)ta bao gồm u + v = (x1 + y1,x2 + y2,x3 + y3 ) = (x1 + y1,x2 + y2, x1 + y1 + 2(x2 + y2) )vậy u + v W (1)mặt khác, ta lại cóvới đa số α R α u = ( α x1, α x2, α x3) = ( α x1, α x2, α (x1 + 2x2))= ( α x1, α x2, α x1 + 2 α x2)vậy α u W (2)Từ (1) và (2) ta suy ra W≤ Rc) ta tất cả 0 = (0,0,0) W suy ra Wvới đa số u = ( x1,x2,x3) W tức thị u = (0,0,x3)và v = (y1, y2,y3 ) W tức thị v = (0,0,y3 )ta bao gồm u + v = (0,0,x3 + y3)vậy u + v W(1)mặt khác ta lại sở hữu với mọi α R α u = (0,0, α x3)vậy α u W (2)Từ (1) với (2) ta suy ra W≤ R3.7vào không gian R4 cho những tậpW1 = ( x1,x2,x3,x4) R4 : x1 + x2 = x3,x1 - x2 + x3 = 2x4W2 = ( x1,x2,x3,x4) R4 : x1 = x2 = x3W3 = ( x1,x2,x3,x4) R4 : x1 = x2 = 0a)Chứng minc W1, W2, W3 là các không khí con của R4b) kiếm tìm một đại lý của W1, W2, W3bài giảia) Xét W1. Ta tất cả 0 =(0,0,0,0) W1 ( do 0 + 0 = 0 với 0+0+0= 2.0) •Suy ra W1Từ nhằm bài xích ta rất có thể viết : x1 + x2 – x3 = 0 cùng x1 – x2 + x3 – 2x4 = 0với mọi u = ( x1,x2,x3,x4) W nghĩa là x1 + x2 –x3 = 0 và x1 –x2 + x3 -2x4 = 0và v = (y1,y2,y3,y4) W tức thị y1 + y2 –y3 = 0 cùng y1 – y2 + y3 -2y4 = 0ta tất cả u + v = ( x1+y1,x2+y2,x3+y3,x4+y4)vì (x1+y1) + (x2+y2) – (x3+y3) = (x1 + x2 –x3) + (y1 + y2 –y3) = 0 + 0 = 0và (x1+y1) – (x2+y2) + (x3+y3) -2(x4+y4) = (x1–x2+x3–2x4) + (y1-y2+y3-2y4)= 0+0 = 0Do kia u+v W (1)Mặt không giống với đa số α R α u = ( α x1, α x2, α x3, α x4)Vì αx1 + αx2 – αx3 = α(x1 + x2 – x3 ) = α.0 = 0 vàαx1 – αx2 + αx3 -2αx4 = α(x1 – x2 +x3 -2x4) = α.0 = 0cho nên vì vậy αu W (2)Từ (1) với (2) ta suy ra W1≤ R Xét W2 ta tất cả 0 = ( 0, 0, 0, 0 ) � 2vi0 = 0 = 0 W • Với số đông u = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) W2 nghĩa là x1 = x2 =x3 (1) Và v = ( y1 , y2 , y3 , y4 ) W2 tức thị y1 =y2 =y3 (2) Ta gồm u + v = (x1+y1,x2 +y2,x3+y3,x4+y4) Từ (1) và (2) ta tất cả x1+y1 = x2+y2 = x3+y3 Do kia u + v W2 (3) Mặt khác với mọi α R α u = (α x1 , α x2 , α x3 , α x4 ) tự (1) ta bao gồm α x1 = α x2 = α x3 Do kia α u R (4) Từ (3) cùng (4) suy ra W2 ≤R Xét W3 dễ thấy • Với mọi u = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) W3 nghĩa là u = (0,0,x3, x4) Và v = ( y1, y2 , y3 , y4 ) W3 tức là v = (0,0,y3,y4) Ta gồm u+v = (0,0, x3+y3,x4+y4) Do kia u + v W3 (1) R α u = ( 0, 0, α x3 , α x4 ) Mặt không giống với mọi α Do kia α u W3 (2) Từ (1) và (2) suy ra W3 ≤Rb) Tìm một các đại lý của W1 • Ta gồm x1 + x2 = x3 và x1 – x2 +x3 = 2x4 buộc phải x1 − x2 + x3 (x1,x2,x3,x4) = ( x1,x2, x1+x2, ) = (x1,x2x1+x2,x1) 2 =(x1,0,x1,x1) + (0,x2,x2,0) = x1(1,0,1,1) + x2(0,1,1,0) Vậy 2 veckhổng lồ u = (1,0,1,1) với v = (01,1,0) là tập sinc của W1 1011 Xét ma trận A = r(A) =2 = Số dòng của A 0110 Suy ra u cùng v tự do con đường tính Vậy u và v là 1 trong những đại lý của W1 Tìm một cơ sở của W2 • Ta gồm x1 = x2 = x3 đề xuất (x1,x2,x3,x4) = (x1,x1,x1,x4) = (x1,x1,x1,0) + (0,0,0,x4) = x1(1,1,1,0) + x4(0,0,0,1) Vậy 2 vectơ u = (1,1,1,0) với v = (0,0,0,1) là tập sinh của W2 1110 Xét ma trận A = r(A) =2 = Số chiếc của A 0001 Suy ra u và v tự do con đường tính Vậy B = u = ( 1,1,1, 0 ) , v = ( 0, 0,0.1) là 1 trong những các đại lý của W2 Tìm một các đại lý của W3 • Ta gồm x1 = x2 = 0 cần (x1,x2,x3,x4) = (0,0,x3,x4) = (0,0,x3,0) + (0,0,0,x4) = x3(0,0,1,0) + x4(0,0,0,1) Vậy 2 vectơ u = (0,0,1,0) và v =(0,0,0,1) là tập sinc của W3 0010 Xét ma trận A = r(A) = 2 = số cái của A 0001 Suy ra u và v hòa bình tuyến tính Vậy B = u = ( 0, 0,1, 0 ) , v = ( 0, 0, 0,1) là 1 đại lý của W33.10a) minh chứng B là đại lý của R3 u1 1 0 1L ập A = u 2 = 1 2 2 0 −1 −1 u3Ta gồm detA = 1 Suy ra B hòa bình tuyến đường tính, mặt khác số vectơ của B bởi 3 =dimR3 phải B là đại lý của R3Chứng minc E là cửa hàng của R3 0 −1 u1 1L ập A = u 2 = 1 1 1 −1 2 u3 2Ta có detA = -3 suy ra E hòa bình tuyến tính, ngoài ra số vectơ của E bởi 3 =dimR3 Nên E là cơ sở của R3b) tìm ma trận chuyển đại lý từ bỏ B thanh lịch E • Lâp ma trận không ngừng mở rộng 1 −1 1 0 0 −1 0 11 01 0 (v1T,v2T,v3T│u1T,u2T,u3T) → 0 2 −1 0 1 −1 2 →0 1 02 1 1 2 −1 −1 1 1 −4 2 0 0 14 −1 0 0 1 −1 Vậy P(B→E) = 2 1 −4 4 Cho u = (1,2,3) tra cứu < u > B , < u > E • 11 01 1 0 01 0 2 −1 2 0 1 00 Lập ma trận không ngừng mở rộng (v1T,v2T,v3T│uT) → 1 2 −1 3 0 0 1 −2 1 �� �� Vậy < u > B =� � 0 − �2 � �� 1 −1 1 � 0 0 −1� 1 1 � � 01 22 0 1 0 2� Lập ma trân mở rộng (u1T,u2T,u3T│uT) = � � 0 1 0� −1 1 23 0 � � − �1� =� � < u> E 2Vậy �� �� 0 ��b) • Tìm P(E→ B) � � − �1 0� 0 � � 4 4 1� E) � = � −1Ta tất cả P(E → B) = � ( B − P. � � �3 3� 3 �2 1� 1 � −� − �3 3� 3 3 �� = � �kiếm tìm v Cho < v > B 2 • �� − �1� �� 3 �� = � �suy ra v = 3v1 + 2v2 – v3 = 3(1,0,1) + 2(1,2,2) – (0,-1,-1) Ta có < v > B 2 �� − �1� �� = (5,5,8) < v> E Tìm • Lập ma trận không ngừng mở rộng � 1 −1 5� � 0 0 −3� 1 1 � �� � (u1T,u2T,u3T│vT ) = � 1 2 5� � 1 0 7 � 0 0 �1 1 2 8� � 0 1 −1� − 0 � �� � − �3� �� Vậy < v > E −1 = � � P( B E) � 7�� � −� �1� �Tài liệu tham khảo Bài giảng môn học đại số A1 – Lê Văn Luyện – Đại học Khoa Học  Tự Nhiên đô thị TP HCM  Bài tâp toán thời thượng - tập 1 – Nguyển Thuỷ Thanh – đơn vị xuất bạn dạng Đại học Quốc Gia thủ đô Chuơng 4: không gian vectơ -  http://linearalgebra1.wikispaces.com/file/view/Chuong+4- Khong+gian+vector.doc Bài giảng toán thời thượng A2 – C2 – Đại Học Công Nghiệp Thực Phẩm  TP Hồ Chí Minh