Nhân liên hợp là gì

dấn xét. Với câu (b) của lấy ví dụ này, ta thấy có xuất hiện thêm thêm những đa thức chứa dấu trịtuyệt đối là |x − 1|, |x|. Tưởng chừng điều đó sẽ gây khó khăn hơn trong việc giải quyết, vìphương trình cất dấu trị tuyệt vời thì thường khó phân tích thành nhân tử. Nhưng nhờ việcsử dụng cách thức nhân lượng liên hợp, việc này đã có được giải gấp rút và tương đối nhẹnhàng. Lúc ấy, ta chỉ việc chuyển các lượng ấy về đúng vị trí cùng sử dụng cách thức nhânlượng phối hợp là đủ.Cách tiếp cận bằng nhân lượng liên hợp chất nhận được ta dám đổi khác các biểu thức một giải pháp tựdo hơn, thoải mái hơn, không bị gò bó nhiều quá ở vấn đề lựa lựa chọn biểu thức thật tương thích hayđánh giá như trong các cách không giống


Bạn đang xem: Nhân liên hợp là gì

*
*

Xem thêm: 7 Câu Hỏi Giúp Bạn Tự Đánh Giá Bản Thân Trong Công Việc Chính Xác Nhất

Bạn đã xem câu chữ tài liệu Phương pháp nhân lượng phối hợp giải những bài toán về phương trình vô tỉ, để sở hữu tài liệu về máy các bạn click vào nút download ở trên
http://onluyentoan.vnPHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢPGIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈLê Phúc Lữ12Phương pháp nhân lượng liên hợp là một trong những cách giải thân quen được áp dụng không ít trongcác câu hỏi giải phương trình và hệ phương trình vô tỉ. Giải pháp giải đơn giản dễ dàng và công dụng nàykhông đầy đủ giúp ta tiếp cận bài toán theo hướng thoải mái và tự nhiên hơn mà còn khiến cho ta tự chế tạo đượcnhiều bài xích toán mới mẻ một cách dễ dàng, thông qua đó rất có thể tự tập luyện thêm những kỹ năngcho mình. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu rõ hơn về phương pháp nhân lượngliên hợp cũng tương tự những điều cần để ý khi vận dụng nó.1 kiến thức cần ghi nhớ và một trong những bài toán mở đầu1.1 kiến thức cần nhớỞ công tác THCS, bọn họ đã khá rất gần gũi với những bài toán về biến hóa biểu thứcvô tỉ bằng phương pháp dùng đại lượng phù hợp để khử căn nhằm làm lộ diện nhân tử. Điều đóđược tiến hành nhờ những hằng đẳng thức cơ phiên bản sau3:• a2 − b2 = (a− b)(a+ b)⇔ a− b = a2 − b2a+ b.• a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab+ b2)⇔ a− b = a3 − b3a2 + ab+ b2.• a4 − b4 = (a− b)(a+ b)(a2 + b2)⇔ a− b = a4 − b4(a+ b)(a2 + b2).• · · ·• an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b+ · · ·+ abn−2 + bn−1).Sử dụng phát minh này, trong những bài toán về phương trình với hệ phương trình, bọn họ có thểnhóm hoặc thêm bớt những đại lượng phù hợp vào những biểu thức đựng căn rồi làm xuất hiện thêm cácđa thức. Nhờ vấn đề phân tích các đa thức đó thành nhân tử làm xuất hiện thêm ra vượt số chung, ta1Sinh viên trường Đại học tập FPT, tp Hồ Chí Minh. Nickname chienthan sinh sống Diễn bọn Cùng nhau vượtĐại dương 2Bài viết được trình diễn lại bởi chương trình soạn thảo LaTeX do can_hang2007. Đề nghị các bạn ghi rõnguồn của lúc đăng tải trên những trang website khác.3Ở trên đây ta tạm hiểu là những biểu thức đã vừa lòng điều khiếu nại của phép chia.1http://onluyentoan.vn2 Lê Phúc Lữđưa câu hỏi đã mang đến về những phương trình tích quen thuộc và từ bỏ đó xử trí tiếp. Tất nhiên là cónhiều yếu đuối tố khác cần chú ý nhưng với các bài toán thường thì thì ý tưởng phát minh tổng quát mắng là:Giả sử vào phương trình, hệ phương trình bắt buộc xét, họ có biểu thức dạng√P (x) vớiP (x) là một đa thức nào đó. Bằng cách nhẩm nghiệm, ta tìm được x = a là 1 trong những nghiệm củanó. Lúc đó, ta sẽ cấp dưỡng biểu thức trên đại lượng −√P (a) để sở hữu được biến hóa sau√P (x)−√P (a) =P (x)− p. (a)√P (x) +√P (a).Đa thức p (x) − p. (a) ở trên tử rõ ràng hoàn toàn có thể phân tích thành (x − a)G(x) nên sau khi làmcác công việc thêm bớt giống như vào hồ hết đại lượng còn lại, họ sẽ đã có được ngay nhântử yêu cầu tìm.Như thế, tổng thể hơn, ví như ta tất cả phương trình dạng f(x) = 0 với f(x) xác định trên miền Dvà ta đã biết nó có nghiệm là x = a ∈ D thì ta có thể thay đổi đưa nó về dạng (x− a)g(x) = 0và quy về xử lý phương trình new g(x) = 0.Trong các trường vừa lòng thì g(x) vẫn vô nghiệm bên trên D, tuy vậy một số trường phù hợp khác thìnó sẽ vẫn còn đó nghiệm nữa và điều này đòi hỏi nhiều phương pháp xử lý yêu thích hợp.1.2 các ví dụ minh họaVí dụ 1. Giải phương trình sau:√x+ 1 +√x+ 4 +√x+ 9 +√x+ 16 =√x+ 100.Lời giải. Điều kiện: x > −1. Ta thấy x = 0 là 1 trong những nghiệm của phương trình nên có thể tiếnhành đổi khác như sau(√x+ 1− 1)+ (√x+ 4− 2)+ (√x+ 9− 3)+ (√x+ 16− 4) = (√x+ 100− 10)⇔ (x+ 1)− 12√x+ 1 + 1+(x+ 4)− 22√x+ 4 + 2+(x+ 9)− 32√x+ 9 + 3+(x+ 16)− 42√x+ 16 + 4=(x+ 100)− 102√x+ 100 + 10⇔ x√x+ 1 + 1+x√x+ 4 + 2+x√x+ 9 + 3+x√x+ 16 + 4=x√x+ 100 + 10⇔x = 01√x+ 1 + 1+1√x+ 4 + 2+1√x+ 9 + 3+1√x+ 16 + 4=1√x+ 100 + 10Xét phương trình:1√x+ 1 + 1+1√x+ 4 + 2+1√x+ 9 + 3+1√x+ 16 + 4=1√x+ 100 + 10. (1)Ta có√x+ 100 + 10 >√x+ 1 + 1 > 0 nên1√x+ 1 + 1>1√x+ 100 + 10,suy ra1√x+ 1 + 1+1√x+ 4 + 2+1√x+ 9 + 3+1√x+ 16 + 4>1√x+ 100 + 10, ∀x > −1và cho nên vì vậy phương trình (1) vô nghiệm. Vậy phương trình đang cho có nghiệm tuyệt nhất x = 0.http://onluyentoan.vnPhương pháp nhân lượng liên hợp giải những bài toán về phương trình vô tỉ 3Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:(a) 3√x+√x+ 3 = 3; (b) 3√2x+ 1 + 3√x = 1.Lời giải. (a) Điều kiện xác định: x > −3. Phương trình đang cho tương tự với(3√x− 1)+ (√x+ 3− 2) = 0⇔ x− 13√x2 + 3√x+ 1+x− 1√x+ 3 + 2= 0⇔ (x− 1)(13√x2 + 3√x+ 1+1√x+ 3 + 2)= 0⇔x− 1 = 013√x2 + 3√x+ 1+1√x+ 3 + 2= 0Từ đây, ta thấy x = một là một nghiệm của phương trình. Xét x 6= 1, lúc đó theo các thay đổi ởtrên, ta có13√x2 + 3√x+ 1+1√x+ 3 + 2= 0.Tuy nhiên, điều này không thể xẩy ra do√x+ 3 + 2 > 0 và3√x2 + 3√x+ 1 =(3√x+12)2+34> 0.Vậy phương trình sẽ cho gồm một nghiệm tốt nhất x = 1.(b) Phương trình đang cho tương đương với(3√2x+ 1− 1)+ 3√x = 0⇔ (2x+ 1)− 13√(2x+ 1)2 + 3√2x+ 1 + 1+ 3√x = 0⇔ 2x3√(2x+ 1)2 + 3√2x+ 1 + 1+ 3√x = 0⇔ 3√x 2 3√x23√(2x+ 1)2 + 3√2x+ 1 + 1+ 1 = 0⇔x = 023√x23√(2x+ 1)2 + 3√2x+ 1 + 1+ 1 = 0Dễ thấy23√x23√(2x+ 1)2 + 3√2x+ 1 + 1+ 1 > 0, ∀x ∈ Rnên từ bỏ trên, ta suy ra x = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình đang cho.Ví dụ 3. Tìm toàn bộ các nghiệm thực của phương trình sau:√x2 + 15 = 33√x2 +√x2 + 8− 2.Lời giải. Phương trình sẽ cho tương đương với(√x2 + 15− 4) = 3( 3√x2 − 1)+ (√x2 + 8− 3)⇔ x2 − 1√x2 + 15 + 4=3(x2 − 1)3√x4 +3√x2 + 1+x2 − 1√x2 + 8 + 3.http://onluyentoan.vn4 Lê Phúc LữNhư vậy, ta bao gồm x2 = 1 hoặc1√x2 + 15 + 4=33√x4 +3√x2 + 1+1√x2 + 8 + 3.Tuy nhiên, do√x2 + 8 + 3 3√2. Phương trình vẫn cho tương đương với(3√x2 − 1− 2)+ (x− 3) = (√x3 − 2− 5)⇔ (x− 3)<1 +x+ 33√(x2 − 1)2 + 2 3√x2 − 1 + 4>=(x− 3)(x2 + 3x+ 9)√x3 − 2 + 5⇔x = 31 +x+ 33√(x2 − 1)2 + 2 3√x2 − 1 + 4 =x2 + 3x+ 9√x3 − 2 + 5Xét phương trình:1 +x+ 33√(x2 − 1)2 + 2 3√x2 − 1 + 4 =x2 + 3x+ 9√x3 − 2 + 5 . (1)Ta có các review sau:• V p. = x2 + 3x+ 9√x3 − 2 + 5 >x2 + 3x+ 9√x3 + 5> x2 + 3x+ 9x2+x2+ 5= 2 +2(2x− 1)x2 + x+ 10> 2.• V T 3√2, ta tất cả V T 9.Thật vậy, ta có(x2 + 4x+ 7)<4 + 2 3√3x+ 5 +3√(3x+ 5)2>=<(x+ 2)2 + 3> <(3√3x+ 5 + 1)2+ 3>> 9và đẳng thức xảy ra khi và chỉ còn khi{x+ 2 = 03√3x+ 5 + 1 = 0⇔ x = −2.Từ đây ta suy ra (1) có nghiệm nhất x = −2. Vậy phương trình đã mang lại có toàn bộ hainghiệm là x = 1 với x = −2.Cách 2. Ta sẽ chuyển đổi phương trình đã cho theo cách khác ví như sau:x3 + 3x2 − 3 3√3x+ 5 = 1− 3x⇔ (x3 + 3x2 − 4) + 3 (x+ 1− 3√3x+ 5) = 0⇔ (x− 1)(x+ 2)2 + 3<(x+ 1)3 − 3x− 5>(x+ 1)2 + (x+ 1) 3√3x+ 5 + 3√(3x+ 5)2= 0⇔ (x− 1)(x+ 2)2 + 3(x3 + 3x2 − 4)(x+ 1)2 + (x+ 1) 3√3x+ 5 + 3√(3x+ 5)2= 0⇔ (x− 1)(x+ 2)21 + 3(x+ 1)2 + (x+ 1) 3√3x+ 5 + 3√(3x+ 5)2 = 0.Biểu thức trong ngoặc vuông luôn luôn dương với mọi x ∈ R đề nghị ta suy ra phương trình đã đến cóhai nghiệm là x = 1 cùng x = −2.http://onluyentoan.vn6 Lê Phúc LữNhận xét. Ở cách đầu tiên của câu (b), do chỉ tìm được một nghiệm của phương trình làx = 1 nên giải mã dẫn cho một phương trình khác nhưng ta bắt buộc dùng bất đẳng thức nhận xét đểtìm nghiệm còn lại. Trong những khi đó, ở bí quyết 2, do đã kiếm được cả nhì nghiệm của phương trình đãcho nên có thể chủ hễ nhóm các hạng tử để làm cho nhân tử tầm thường là (x− 1)(x+2), còn lạibiểu thức vào ngoặc đã luôn dương với tất cả x cho nên việc giải phương trình coi như hoàn tất.Các cách phân tích để có được giải pháp nhóm trên sẽ được trình làng rõ ở các bài sau. Sau đây làcách thông dụng lúc giải câu hỏi này, đó đó là đưa về hệ phương trình đối xứng, một cáchgiải đặc biệt quan trọng dùng để xử lý những bài phương trình tất cả bậc hai vế là nghịch hòn đảo của nhau.Cách 3. Phương trình đang cho có thể được viết bên dưới dạng(x+ 1)3 − 2 = 3 3√3x+ 5.Đặt 3√3x+ 5 = y + 1 thì ta bao gồm (y + 1)3 = 3x+ 5. Từ đây cùng từ phương trình ngơi nghỉ trên, ta tất cả hệ{(x+ 1)3 = 3y + 5(y + 1)3 = 3x+ 5Trừ vế theo vế các phương trình, ta được(x− y) <(x+ 1)2 + (x+ 1)(y + 1) + (y + 1)2 + 3> = 0⇔ x = y(Do biểu thức trong ngoặc vuông luôn luôn dương với đa số x, y ∈ R). Gắng y = x ngược quay trở về vàohệ, ta được phương trình khớp ứng là(x+ 1)3 = 3x+ 5.Giải ra và thử lại, ta cũng rất được các nghiệm x = 1 và x = −2.Ví dụ 5. Giải những phương trình sau:(a) (x+ 3)√2x2 + 1 = x2 + x+ 3; (b) (x+ 3)√x2 + 5 = 2x2 + 3x+ 1.Lời giải. (a) hay thấy x = −3 không là nghiệm của phương trình đề xuất ta chỉ cần xét x 6= −3là đủ. Khi đó, phương trình vẫn cho rất có thể được viết lại bên dưới dạng√2x2 + 1 =x2 + x+ 3x+ 3⇔√2x2 + 1− 1 = x2x+ 3⇔ 2x2√2x2 + 1 + 1=x2x+ 3⇔x = 0 2√2x2 + 1 + 1=1x+ 3Từ trên đây ta suy ra x = 0 là một trong những nghiệm của phương trình đang cho. Xét phương trình còn lại, tathấy phương trình này tương tự với√2x2 + 1 + 1 = 2x+ 6⇔ √2x2 + 1 = 2x+ 5⇔x > −522x2 + 1 = 4x2 + 25 + 20x⇔x > −52x2 + 10x+ 12 = 0⇔x > −52x = −5 +√13 ∨ x = −5−√13⇔ x = −5 +√13.Vậy phương trình đang cho bao gồm hai nghiệm là x = 0 và x = −5 +√13.http://onluyentoan.vnPhương pháp nhân lượng liên hợp giải các bài toán về phương trình vô tỉ 7(b) tương tự bài trên, ta thấy x = −3 không là nghiệm của phương trình. Xét x 6= −3, ta cóphương trình tương đương√x2 + 5 =2x2 + 3x+ 1x+ 3⇔√x2 + 5− 3 = 2x2 + 3x+ 1x+ 3− 3⇔ x2 − 4√x2 + 5 + 3=2(x2 − 4)x+ 3⇔x2 − 4 = 01√x2 + 5 + 3=2x+ 3Nếu x2 − 4 = 0 thì ta bao gồm x = ±2 cùng hai quý giá này thỏa mãn nhu cầu phương trình đã cho. Còn vớix2 − 4 6= 0 thì từ đổi khác trên, ta có1√x2 + 5 + 3=2x+ 3⇔ x+ 3 = 2√x2 + 5 + 6⇔ x− 3 = 2√x2 + 5⇔{x > 3x2 + 9− 6x = 4(x2 + 5) ⇔{x > 33x2 + 6x+ 11 = 0Rõ ràng không có giá trị như thế nào của x vừa lòng hệ này. Và như thế, ta đi đến kết luận phươngtrình sẽ cho bao gồm hai nghiệm là x = −2 với x = 2.Ví dụ 6. Giải những phương trình sau:(a)√x− 1 +√x+ 3 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = 4− 2x;(b)√x− 1−√x+ 3 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = −2x;(c)√x− 1 +√x+ 3 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = 2x.Lời giải. (a) Điều kiện: x > 1. Với điều kiện này, ta dễ thấy:• V T > √x+ 3 > 2 và đẳng thức xẩy ra khi và chỉ còn khi x = 1.• V phường 6 2 cùng đẳng thức cũng xảy ra khi và chỉ khi x = 1.Do vậy, để có thể xảy ra trường thích hợp V T = V phường như sẽ nêu sống đề bài bác thì ta phải tất cả V T = V p. = 2,tức x = 1. Vậy phương trình sẽ cho có nghiệm duy nhất x = 1.(b) Điều kiện: x > 1. Ta nhẩm được x = 1 là nghiệm của phương trình và vấn đề đó gợi mang lại tanghĩ mang lại việc biến hóa phương trình như sau√x− 1−√x+ 3 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = −2x⇔ √x− 1 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = √x+ 3− 2x⇔ √x− 1 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = −(x− 1)(4x+ 3)√x+ 3 + 2x.Ta thấy rằng với x > 1 thì vế trái của phương trình trên là 1 trong đại lượng không âm, trongkhi đó vế phải luôn luôn mang quý hiếm 6 0. Bởi vì đó, để có thể xảy ra được vệt đẳng thức như trênthì cả nhị đại lượng này buộc phải đồng thời bằng 0, tức là x = 1. Vậy x = 1 là nghiệm duy nhấtcủa phương trình sẽ cho.http://onluyentoan.vn8 Lê Phúc Lữ(c) Điều kiện: x > 1. Biến hóa tương tự như trên, ta được√x− 1 + 2√(x− 1)(x2 − 3x+ 5) = (x− 1)(4x+ 3)√x+ 3 + 2x⇔ √x− 1<1 + 2√x2 − 3x+ 5−√x− 1(4x+ 3)√x+ 3 + 2x>= 0⇔√x− 1 = 01 + 2√x2 − 3x+ 5 =√x− 1(4x+ 3)√x+ 3 + 2xĐến đây, bằng cách giải phương trình máy nhất, ta tìm kiếm được một nghiệm là x = 1. Xét tiếpphương trình sản phẩm công nghệ hai, ta thấy1 + 2√x2 − 3x+ 5 = 1 +√2 > 1 +√2x2 > 1 + x.Mặt khác, theo bất đẳng thức AM-GM thì x = (x− 1) + 1 > 2√x− 1. Bởi vậy, ta có√x− 1(4x+ 3)√x+ 3 + 2x6√x− 1(4x+ 3)2x6x2· (4x+ 3)2x=4x+ 34 2. Ta bao gồm phương trình đã cho tương đương với2(x− 3) +(√x+ 6− 3√x− 2)= 0⇔ 2(x− 3) + (x+ 6)− 9(x− 2)√x+ 6 + 3√x− 2 = 0⇔ (x− 3)<1− 4√x+ 6 + 3√x− 2>= 0⇔ 0, ∀x ∈<−13, 6>nên ngôi trường hợp thiết bị hai cấp thiết xảy ra. Từ đây ta suy ra phương trình đã mang đến chỉ có mộtnghiệm nhất là x = 5.Ví dụ 8. Giải những phương trình với bất phương trình sau:(a) 3√2x+ 2 + 3√2x+ 1 =3√2x2 + 3√2x2 + 1;(b)√3− x+√2 + x = x3 + x2 − 4x− 4 + |x|+ |x− 1|;(c) 2√x2 + x+ 1x+ 4+ x2 − 4 6 2√x2 + 1.Lời giải. (a) Ta thấy rằng ở hai vế đều có dạng hàm số f(t) = 3√t+ 3√t+ 1 nên hoàn toàn có thể dùngtính solo điệu của hàm số để giải dễ dàng dàng. Ở đây, ta dùng phương thức nhân liên hợp nhằmlàm lộ diện nhân tử thông thường ở nhị vế. Trước hết, ta viết lại phương trình dưới dạng(3√2x2 + 1− 3√2x+ 2)+(3√2x2 − 3√2x+ 1)= 0.Bằng cách nhân các lượng phối hợp tương ứng, ta có3√2x2 + 1− 3√2x+ 2 = 2x2 − 2x− 13√(2x2 + 1)2 + 3√(2x2 + 1)(2x+ 2) + 3√(2x+ 2)2=2x2 − 2x− 1Avà3√2x2 − 3√2x+ 1 = 2x2 − 2x− 13√(2x2)2 + 3√2x2(2x+ 1) + 3√(2x+ 1)2=2x2 − 2x− 1B.Do đó, phương trình vẫn cho tương tự với(2x2 − 2x− 1)(1A+1B)= 0.Tuy nhiên, bởi A, B > 0 đề nghị từ trên đây ta có2x2 − 2x− 1 = 0⇔ x = 1−√32∨ x = 1 +√32.Vậy phương trình đang cho có hai nghiệm là x = 1−√32và x = 1+√32.http://onluyentoan.vn10 Lê Phúc Lữ(b) Điều kiện: −2 6 x 6 3. Phương trình đang cho tương tự với(√3− x− |x− 1|)+ (√2 + x− |x|) = x3 + x2 − 4x− 4⇔ −x2 + x+ 2√3− x+ |x− 1| +−x2 + x+ 2√2 + x+ |x| = (x+ 2)(x+ 1)(x− 2)⇔ (2− x)(x+ 1)√3− x+ |x− 1| +(2− x)(x+ 1)√2 + x+ |x| + (x+ 2)(x+ 1)(2− x) = 0⇔ (2− x)(x+ 1)<1√3− x+ |x− 1| +1√2 + x+ |x| + (x+ 2)>= 0.Do 1√3−x+|x−1| +1√2+x+|x| + (x+ 2) > 0, ∀x ∈ <−2, 3> bắt buộc từ trên, ta có(2− x)(x+ 1) = 0⇔ x = −1 ∨ x = 2.Vậy phương trình vẫn cho tất cả hai nghiệm là x = −1 với x = 2.(c) Điều kiện: x > −4. Bất phương trình vẫn cho tương tự với2(√x2 + x+ 1x+ 4− 1)+ x2 − 3 6 2√x2 + 1− 1⇔ 2 ·x2+x+1x+4− 1√x2+x+1x+4+ 1+ x2 − 3 64x2+1− 12√x2+1+ 1⇔ 2 (x2 − 3)√(x+ 4)(x2 + x+ 1) + x+ 4+ (x2 − 3) + x2 − 3(2 +√x2 + 1)√x2 + 16 0.Và như thế, ta thu được(x2 − 3)<2√(x+ 4)(x2 + x+ 1) + x+ 4+ 1 +1(2 +√x2 + 1)√x2 + 1>6 0.Dễ thấy biểu thức trong vết ngoặc sản phẩm công nghệ hai luôn dương với tất cả x > −4, vì thế ta hoàn toàn có thể viếtlại bất phương trình bên trên thànhx2 − 3 6 0⇔ −√3 6 x 6√3.Kết phù hợp với điều kiện xác minh x > −4, ta chiếm được T = <−√3, √3> là tập nghiệm của bấtphương trình đã cho.Nhận xét. Cùng với câu (b) của lấy ví dụ này, ta thấy có xuất hiện thêm các đa thức đựng dấu trịtuyệt đối là |x − 1|, |x|. Tưởng chừng điều này sẽ gây trở ngại hơn trong việc giải quyết, vìphương trình đựng dấu trị tuyệt đối hoàn hảo thì thường cạnh tranh phân tích thành nhân tử. Mà lại nhờ việcsử dụng phương thức nhân lượng liên hợp, vấn đề này đã có được giải hối hả và tương đối nhẹnhàng. Lúc ấy, ta chỉ cần chuyển những lượng ấy về đúng vị trí cùng sử dụng cách thức nhânlượng phối hợp là đủ.Cách tiếp cận bằng nhân lượng liên hợp được cho phép ta dám biến đổi các biểu thức một biện pháp tựdo hơn, thoải mái và dễ chịu hơn, không bị gò bó nhiều quá ở bài toán lựa chọn biểu thức thật tương thích hayđánh giá bán như trong những cách khác.